Lower Sum

释义 Definition

Lower sum（下和）：在微积分中，指把区间分成若干小区间后，在每个小区间上取函数的下确界（最小值/下界）乘以该小区间长度，再把这些乘积相加得到的和。它常用于定义与理解黎曼积分，与 upper sum（上和）相对。
（该术语也可能在一般语境中被直译为“较小的总和”，但最常见的是上述数学含义。）

发音 Pronunciation

/ˈloʊ.ɚ sʌm/

例句 Examples

The lower sum gives an underestimate of the area under the curve.
下和给出了曲线下面积的一个低估值。

If the lower sums and upper sums converge to the same limit as the partition gets finer, the function is Riemann integrable.
当把划分不断细化时，如果下和与上和都收敛到同一个极限，那么该函数是黎曼可积的。

词源 Etymology

lower 来自古英语 lǣgra（“更低的”），sum 来自拉丁语 summa（“总和、合计”）。在积分理论里，“lower sum”字面意思就是“用较低（下界）的取值来形成的总和”，用以与取上界值构造的 upper sum 区分。

相关词 Related Words

• Upper Sum
• Riemann Sum
• Lower Integral
• Upper Integral
• Partition
• Infimum
• Supremum
• Riemann Integral

文献与作品 Literary / Notable Works

• Calculus, Volume 1（Tom M. Apostol）——在用上下和构造黎曼积分时会讨论 lower sum。
• Calculus: Early Transcendentals（James Stewart）——介绍黎曼和及其与上下和的关系时常出现该术语。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在实分析中讲述积分与上、下积分相关概念时会涉及 lower sum（或等价表述）。